| Titre : | Calculus of Variations & Optimal Control : Course for Graduate Students in Mathematical Analysis |
| Auteurs : | SEG-P Hafida Abbas, Auteur |
| Type de document : | texte imprimé |
| Editeur : | SAIDA : 1- جامعة سعيدة الدكتور مولاي الطاهر / كلية العلوم الاقتصادية والتجارية وعلوم التسيير, 2026-2027 |
| Format : | 70p / 27cm |
| Accompagnement : | +CD-ROM |
| Langues: | Anglais |
| Catégories : |
SEG-P / مطبوعة بيداغوجية كلية العلوم الإقتصادية والتجارية وعلوم التسيير |
| Note de contenu : |
Contents
1 Introduction 1 1.1 The brachistochrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 The terrestrial brachistochrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Minimal surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Integral functionals, Optimality 13 2.1 Problem setting and admissible variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Variations and the first variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Euler–Lagrange equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Boundary conditions: fixed, natural, and free endpoints . . . . . . . . . . . . . 16 2.4.1 Natural boundary conditions (free value at an endpoint) . . . . . . . . . 16 2.4.2 Transversality (free endpoint on a curve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5 Isoperimetric constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6 Corner conditions (Weierstrass–Erdmann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.7 Vector-valued curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.8 Notes and further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.9 Worked examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.11 Technical complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.11.1 Differentiation under the integral sign . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.11.2 Fundamental lemma of the calculus of variations . . . . . . . . . . . . . 21 2.11.3 Key formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Weierstrass and Jacobi 23 Chapter overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1 Weak versus strong minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Fields of extremals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Weierstrass necessary condition and the excess function . . . . . . . . . . . . . 24 3.4 Jacobi condition and conjugate points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.5 Worked examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.7 Notes and further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.8 Technical complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.9 Weierstrass’ necessary condition (proof in 1D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.10 Jacobi criterion: a detailed proof sketch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.11 Worked examples (optional enrichment) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Appendix overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.12 Catenary: a classical variational problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 iii iv CONTENTS 3.13 A full Jacobi-field computation (harmonic oscillator) . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.14 Key formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.15 Second variation and sufficient conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 Canonical form and Sturm theory 31 Chapter overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1 Canonical form of the second variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Sturm theorems: statements and intuition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3 Applications to Jacobi and conjugate points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.4 Canonical transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.5 Examples and exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.6 Notes and further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.7 ODE tools for Sturm–Liouville problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5 Direct method and numerics 35 Chapter overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.1 Convexity and consequences (existence/uniqueness) . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2 Direct methods in the calculus of variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.3 Finite-difference schemes (Euler discretization) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.4 Ritz method and Galerkin viewpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.5 Error estimates (basic theory and practice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.6 Exercises and a mini-project . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.7 Notes and further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.8 Gâteaux and Fréchet derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.9 Convex analysis reminders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.10 Sobolev tools and the direct method (1D toolkit) . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.11 Sobolev spaces on an interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.12 Poincaré inequality and coercivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.13 Weak compactness in reflexive spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.14 Lower semicontinuity: a usable criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.15 Direct method: full proof in one dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.16 Numerical schemes for variational problems (finite differences and Ritz) . . . . 42 5.17 Finite differences: from the functional to a discrete problem . . . . . . . . . . . 42 5.17.1 A discrete functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.17.2 Discrete Euler–Lagrange equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.18 Consistency and convergence (informal template) . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.19 Ritz–Galerkin methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.19.1 Galerkin stationarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.19.2 Quadratic energy: Céa-type estimate (Hilbert setting) . . . . . . . . . . 43 5.20 A short note on constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6 Optimal Control Problems and PMP 45 6.1 Problem setting and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.2 Reachable sets and a brief controllability reminder . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.3 Existence of optimal controls (compactness philosophy) . . . . . . . . . . . . . . 47 6.4 From Bolza to Mayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.5 Pontryagin Maximum Principle (PMP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.5.1 Hamiltonian, multipliers, normal/abnormal . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.5.2 PMP (fixed final time, Bolza) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.5.3 Transversality: detailed cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.6 Switching function and singular arcs (control-affine intuition) . . . . . . . . . . 50 CONTENTS v 6.7 Second-order conditions and sufficiency in optimal control . . . . . . . . . . . . 51 6.7.1 Legendre–Clebsch condition (control-affine and singular arcs) . . . . . . 51 6.7.2 Sufficiency via convexity (Mangasarian and Arrow) . . . . . . . . . . . . 51 6.8 Linear–quadratic regulator (LQR) and the Riccati equation . . . . . . . . . . . 52 6.8.1 Finite-horizon LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.8.2 Infinite-horizon and algebraic Riccati equation . . . . . . . . . . . . . . 52 6.9 Hamilton–Jacobi–Bellman (HJB) equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.9.1 Value function and dynamic programming . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.9.2 Evolution HJB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Worked examples (guided) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 7 Minimum-Time Problem for Linear Systems 55 7.1 Linear dynamics and variation of constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7.2 Reachable sets and controllability reminders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7.3 Minimum-time problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7.4 PMP in the linear minimum-time case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Appendix: Solutions 59 .1 Additional Solutions and Structured Hints (Option C) . . . . . . . . . . . . . . 59 .2 Solutions for Chapter 1 (Introduction) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 .3 Extended solutions and exam-style problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Bibliography 65 |
Exemplaires (1)
| Code-barres | Cote | Support | Localisation | Section | Disponibilité |
|---|---|---|---|---|---|
| BUC-P 000356 | SEG-P 00179 | Livre | Bibliothèque PMB Services | Polycope | Libre accès Disponible |
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